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<!DOCTYPE html>

<title>Algebraischer Abschluss</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Algebraischer Abschluss</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante <a href="Polynom" title="Polynom">Polynom</a> mit Koeffizienten in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> eine Nullstelle in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> hat. Ein Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist ein algebraischer Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, wenn er algebraisch abgeschlossen ist und ein <a href="Algebraischer_Erweiterungsk%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Algebraischer Erweiterungskörper">algebraischer Erweiterungskörper</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> ist. Da ein algebraischer Abschluss bis auf <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphie</a> eindeutig ist, spricht man häufig auch von dem algebraischen Abschluss. Das Auffinden von Nullstellen von Polynomen ist eine wichtige mathematische Aufgabenstellung, in einem algebraischen Abschluss kann zumindest deren Existenz gesichert werden. Tatsächlich kann man zeigen, dass es zu jedem Körper einen algebraischen Abschluss gibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]}" loading="lazy"> bezeichne wie üblich den <a href="Polynomring" title="Polynomring">Polynomring</a> über <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">.

Allgemein heißt ein Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> algebraisch abgeschlossen, wenn eine der folgenden äquivalenten Aussagen gilt:

<ul><li>Jedes Polynom aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]\setminus K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]\setminus K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/142935c866bd86b457c2726b10cf0d2fddde6322.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]\setminus K}" loading="lazy"> hat eine Nullstelle in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">.</li>

<li>Jedes Polynom aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]\setminus K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]\setminus K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/142935c866bd86b457c2726b10cf0d2fddde6322.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]\setminus K}" loading="lazy"> zerfällt in <a href="Linearfaktor" class="mw-redirect" title="Linearfaktor">Linearfaktoren</a>, also Polynome vom <a href="Grad_(Polynom)" title="Grad (Polynom)">Grad</a> 1.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> hat keine echten algebraischen Erweiterungen.</li>

<li>Jedes <a href="Irreduzibles_Polynom" title="Irreduzibles Polynom">irreduzible Polynom</a> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]}" loading="lazy"> hat Grad 1.</li></ul>

Ein algebraischer Abschluss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> eines Körpers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> kann nun auf zweierlei Art definiert werden:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist ein algebraischer Erweiterungskörper von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, in dem jedes Polynom aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]\setminus K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]\setminus K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/142935c866bd86b457c2726b10cf0d2fddde6322.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]\setminus K}" loading="lazy"> eine Nullstelle hat.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ist ein algebraischer Erweiterungskörper von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, in dem jedes Polynom aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L[x]\setminus L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L[x]\setminus L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de0a91718237a763d3e695faeed9a860c98abf09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.984ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L[x]\setminus L}" loading="lazy"> eine Nullstelle hat.</li></ul>

Die zweite Bedingung ist eine scheinbar stärkere Aussage, sie erweist sich aber als zur ersten äquivalent.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Existenz">Existenz</h2></div>

Zu einem einzelnen Polynom aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]\setminus K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]\setminus K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/142935c866bd86b457c2726b10cf0d2fddde6322.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.95ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]\setminus K}" loading="lazy"> kann man leicht eine algebraische Erweiterung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> finden, in der das Polynom eine Nullstelle hat. Mit dem <a href="Lemma_von_Zorn" title="Lemma von Zorn">Lemma von Zorn</a> kann man eine algebraische Erweiterung finden, in der alle nicht-konstanten Polynome aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K[x]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K[x]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.689ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K[x]}" loading="lazy"> eine Nullstelle haben.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Dies ist dann nach obiger Bemerkung ein algebraischer Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">.

Es gelang <a href="Ernst_Steinitz" title="Ernst Steinitz">Ernst Steinitz</a> im Jahre 1910 als Erstem zu zeigen, dass jeder Körper einen algebraisch abgeschlossenen Oberkörper und somit auch einen algebraischen Abschluss hat. Dabei benutze Steinitz das <a href="Auswahlaxiom" title="Auswahlaxiom">Auswahlaxiom</a>, welches äquivalent zum oben erwähnten Lemma von Zorn ist.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Der Beweis für die Existenz benötigt notwendigerweise transfinite Methoden wie zum Beispiel das Auswahlaxiom: Sind die <a href="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre" title="Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre">Axiome</a> der <a href="Mengenlehre" title="Mengenlehre">Mengenlehre</a> konsistent, dann sind auch die Axiome der Mengenlehre (ohne Auswahlaxiom) zusammen mit dem Satz „Es gibt einen Körper, der keinen algebraischen Abschluss hat“ konsistent.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eindeutigkeit">Eindeutigkeit</h2></div>

Ebenfalls mit dem zornschen Lemma kann man zeigen, dass zwei algebraische Abschlüsse zueinander <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">-isomorph sind, das heißt, für algebraische Abschlüsse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L,L'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L,L'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/463f0e2f0841639bfc6a226c8c534d9ce9ed2457.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L,L'}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> gibt es einen Körperisomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi \colon L\to L'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi \colon L\to L'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b39aa92454d97ae3b759865a273309aa5c8c660.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.019ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \varphi \colon L\to L'}" loading="lazy">, der eingeschränkt auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> die <a href="Identische_Abbildung" title="Identische Abbildung">Identität</a> ist. Allerdings gibt es keinen kanonischen, also keinen ausgezeichneten Isomorphismus, sondern im Allgemeinen sehr viele gleichberechtigte. Ein algebraischer Abschluss zu sein, ist demnach keine <a href="Universelle_Eigenschaft" title="Universelle Eigenschaft">universelle Eigenschaft</a>.

Der algebraische Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> hat dieselbe <a href="M%C3%A4chtigkeit_(Mathematik)" title="Mächtigkeit (Mathematik)">Mächtigkeit</a> wie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> unendlich ist, und ist <a href="Abz%C3%A4hlbare_Menge" title="Abzählbare Menge">abzählbar</a>, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"> endlich ist. Ein algebraisch abgeschlossener Körper kann hingegen nicht endlich sein: Ist der Körper endlich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> Elementen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{q}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{q}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f7e27ce80430a70a125c5809e871bbebd1064da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.681ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{q}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle f:=\prod _{k=1}^{q}(x-a_{k})}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle f:=\prod _{k=1}^{q}(x-a_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90d05c15fc32ecb798ccd572fa136fe0367f49eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.705ex; height:3.176ex;" alt="{\textstyle f:=\prod _{k=1}^{q}(x-a_{k})}" loading="lazy"> das Produkt aller Linearfaktoren, so hat das Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aee21b648efc2c741b011553fb081d3c0f02a3a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.281ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+1}" loading="lazy"> keine Nullstelle.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<ul><li>Der <a href="Fundamentalsatz_der_Algebra" title="Fundamentalsatz der Algebra">Fundamentalsatz der Algebra</a> besagt, dass der Körper der <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"> algebraisch abgeschlossen und somit ein algebraischer Abschluss der <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reellen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> ein anderer algebraischer Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> und sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a671019a672cd149a8d1584861e2f8fe9728a9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:2.039ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{1}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{2}=-j_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{2}=-j_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e86ce95b95d308a77abfbd1acc2439139402fd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:8.958ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{2}=-j_{1}}" loading="lazy"> die Lösungen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}=-1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20d687ce8b19e0ef0d8f872a4e0bfdcf3a6665a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}=-1}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">, so gibt es zwei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy">-Isomorphismen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">. Entweder wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a671019a672cd149a8d1584861e2f8fe9728a9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:2.039ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j_{1}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> oder auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91fddb9f89a520937db3a8821575068cdcc76f60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.611ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -i}" loading="lazy"> abgebildet. Beide Möglichkeiten sind gleichberechtigt.</li></ul>

<ul><li>Ein algebraischer Abschluss der <a href="Rationale_Zahlen" class="mw-redirect" title="Rationale Zahlen">rationalen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> ist der Körper der <a href="Algebraische_Zahl" title="Algebraische Zahl">algebraischen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fb423c16a5f403edbaf66438b75e7a36e725af6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {A} }" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Es gibt viele abzählbare algebraisch abgeschlossene echte Oberkörper der algebraischen Zahlen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy">. Sie sind algebraische Abschlüsse <a href="Transzendente_Erweiterung" class="mw-redirect" title="Transzendente Erweiterung">transzendenter Erweiterungen</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy">.</li></ul>

<ul><li>Für einen endlichen Körper <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d35035371db7bee93733c68c1802114c17d8bb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.479ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}" loading="lazy"> der Primzahl-Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> ist der algebraische Abschluss ein abzählbar unendlicher Körper der <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und enthält für jede natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> einen Teilkörper der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6a7a7e74ae90ab94f01e1629177758fb68b423b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.477ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{n}}" loading="lazy">, er besteht sogar aus der Vereinigung dieser Teilkörper.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung">Bedeutung</h2></div>

Die Bedeutung des algebraischen Abschlusses besteht im Auffinden der Nullstellen von Polynomen. Im algebraischen Abschluss hat jedes Polynom <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ten Grades genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Nullstellen, die mit Vielfachheiten zu zählen sind. Es wird allerdings nichts darüber ausgesagt, wie diese konkret zu finden sind, siehe dazu den Artikel <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), Satz 6.10.6

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 137, 1910, S. 167–309

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Thomas_Jech" title="Thomas Jech">Thomas Jech</a>: <cite style="font-style:italic">The Axiom of Choice</cite>. North Holland, 1973, ISBN 0-7204-2275-2, S. 147.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Algebraischer+Abschluss&rft.au=Thomas+Jech&rft.btitle=The+Axiom+of+Choice&rft.date=1973&rft.genre=book&rft.isbn=0720422752&rft.pages=147&rft.pub=North+Holland" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-01-11" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Algebraischer_Abschluss&oldid=252160836">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>